AhA: Warum ist eine Quadratur des Kreises unmöglich?

Aus der Bibel lernt man wenig über Mathe. Eine Ausnahme bildet die Beschreibung eines Beckens in Salomos Tempel: „Und er machte ein Meer, gegossen vom einen Rand zum anderen zehn Ellen weit, … und eine Schnur, dreißig Ellen lang, war das Maß ringsherum.“ Kreisumfang und Durchmesser haben hier ein Verhältnis von 30 zu 10, also: Pi = 3.

Eine grobe Näherung. Um Pi genauer zu bestimmen, verwendete der große Archimedes Sechsecke, 24-Ecke und 96-Ecke, die sich von außen und von innen immer enger an einen Kreis anschmiegen. Diese Methode trieb der Mathematiker Ludolph van Ceulen im 17. Jahrhundert auf die Spitze. Für die Nachwelt ließ er in seinen Grabstein meißeln, Pi wäre größer als 3,14159265358979323846264338327950288, jedoch kleiner als nämliche Zahl mit einer 9 anstelle der 8 als letzter Ziffer.

Ganz anders Gottfried Wilhelm Leibniz. Er konstruierte keine dem Kreis ungefähr flächengleichen Vielecke, sondern fand eine erstaunliche Formel für den Viertelkreis: Pi/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 ± … Leibniz zufolge ist dieser Reihe, obschon unendlich, ein eindeutiger Grenzwert zugeordnet. Er nennt Pi eine „transzendente“ Zahl. Und hierin verborgen liegt der Grund dafür, dass eine Quadratur des Kreises mit Lineal und Zirkel unmöglich ist.

Transzendente Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen ohne jede Regelmäßigkeiten. Pi ähnelt einer Zufallszahl. So tauchen beliebige Ziffernfolgen irgendwann hinterm Komma auf, die 666666 zum Beispiel an 252 499ster Stelle. Mein Geburtsdatum findet sich an der 1 279 477sten Nachkommastelle.

Außerdem lassen sich transzendente Zahlen nicht als Lösung endlicher algebraischer Gleichungen darstellen. Bereits Leibniz’ Vorgängern war es mithilfe von Koordinatensystemen gelungen, eine Brücke vom Anschauungsraum der Geometrie zu den abstrakten Größenbeziehungen der Algebra zu schlagen. Zu jeder geometrischen Kurve gehört demnach eine algebraische Gleichung und umgekehrt. Aber wenn eine Zahl x transzendent ist, kann man keine Linie der Länge x konstruieren. Eine vollkommen runde Pizza hat daher niemals dieselbe Fläche wie eine perfekt quadratische Pi-Pizza. Thomas de Padova